Астигматизм и кривизна изображения
8.2. Монохроматические аберрации
Аберрации делятся на монохроматические и хроматические.
Монохроматические аберрации присутствуют, даже если оптическая система
работает при монохроматическом
излучении.
Монохроматические аберрации делятся на несколько типов:
- сферическая,
- кома,
- астигматизм и кривизна
изображения, - дисторсия.
Обычно все последующие аберрации добавляются к уже существующим.
Но мы будем рассматривать каждый тип аберрации по отдельности, как если
бы только он и существовал.
8.2.1. Разложение волновой аберрации
в ряд
| (8.2.2) |
где (
– степень ,
– степень
) – коэффициент,
значение которого определяет вклад конкретного типа (и порядка) аберрации
в общую волновую аберрацию:
– постоянная
составляющая, которая может быть сведена к нулю соответствующим выбором
референтной сферы,
– продольная
дефокусировка,
и
– сферическая аберрация 3 и 5 порядка,
– дисторсия,
– кома 3
и 5 порядка,
– астигматизм
3 и 5 порядка.
В разложении могут участвовать и более высокие порядки,
но мы их рассматривать не будем. Порядок аберрации определяется по степени
координаты
в разложении поперечной аберрации
в ряд. Этот ряд получаем путем дифференцирования выражения (8.2.2). Таким
образом, поперечная аберрация определяется следующим образом:
(8.2.3)
8.2.2. Радиально симметричные аберрации
(дефокусировка и сферическая аберрация)
Радиально симметричные аберрации (расфокусировка и сферическая
аберрация) анализируются и изучаются при рассмотрении осевой точки предмета.
Для описания радиально симметричных аберраций достаточно использовать
одну радиальную зрачковую координату :
(8.2.5)
Дефокусировка
| (8.2.6) |
Дефокусировка не приводит к нарушению гомоцентричности
пучка (рис.8.2.1), а только свидетельствует о продольном смещении плоскости
изображения.
Рис.8.2.1. Дефокусировка.
При дефокусировке все лучи на выходе оптической системы
пересекаются в одной точке, но не в точке идеального изображения. Поэтому
в случае дефокусировки продольная
аберрация постоянна для всех лучей (для всех точек зрачка):
(8.2.7)
Если дефокусировки нет, то плоскость изображения совпадает
с плоскостью Гаусса (плоскостью
идеального изображения). Чтобы избавиться от дефокусировки, нужно
просто соответствующим образом передвинуть плоскость изображения.
При анализе аберраций оптических систем принято строить
графики зависимости поперечной,
продольной, и волновой
аберраций от зрачковых координат.
Если в оптической системе присутствует только дефокусировка, то эти графики
будут выглядеть как показано на рис.8.2.2.
Рис.8.2.2. Графики аберраций для расфокусировки.
Сферическая аберрация 3 порядка
| (8.2.8) |
Сферическая аберрация приводит к тому, что лучи, выходящие из осевой точки
предмета, не пересекаются в одной точке, образуя на плоскости идеального
изображения кружок рассеяния
(рис.8.2.3). Ею обладают все линзы со сферическими поверхностями. Чтобы
ее устранить, необходимо сделать поверхности не сферическими. Сферическую
аберрацию 3 порядка называют также первичной сферической аберрацией.
Рис.8.2.3. Сферическая аберрация.
Продольная
и поперечная аберрации в
этом случае определяются выражениями:
(8.2.9)
(8.2.10)
В простых положительных линзах сферическая аберрация
3 порядка отрицательна, а в отрицательных положительна. Комбинируя положительные
и отрицательные линзы можно исправлять сферическую аберрацию. Графики
волновой, продольной
и поперечной аберраций в
случае сферической аберрации 3 порядка представлены на рис.8.2.4.
Рис.8.2.4. Графики аберраций для сферической аберрации
3 порядка.
Сферическая аберрация 5 порядка
| (8.2.11) |
По характеру искажения гомоцентричности
пучка лучей сферическая аберрация 5 порядка полностью аналогична сферической
аберрации 3 порядка, только имеет более высокий порядок кривых на графиках
поперечной и продольной аберраций.
В сложных системах сферические аберрации 3 и 5 порядков
имеют разные знаки и могут взаимно компенсировать друг друга. На рис.8.2.5
представлен график оптимальной коррекции сферической аберрации 3 и 5 порядков
для апертурного луча. В результате
коррекции остаточные аберрации становятся меньше, чем сами аберрации 3
и 5 порядка.
Рис.8.2.5. Взаимокомпенсация сферической аберрации 3 и 5 порядков.
Однако в случае сферической аберрации 3 и 5 порядков
может быть и так, как показано на рис.8.2.6.: а) – аберрация «недоисправлена»,
б) – аберрация «переисправлена».
Рис.8.2.6. Графики коррекции сферической аберрации.
Поскольку продольной дефокусировкой
легко управлять путем перемещения плоскости
изображения, то сочетая сферическую аберрацию и дефокусировку, можно
выбрать наилучшее с точки зрения минимума сферической аберрации положение
изображения. В частности, для сферической аберрации 3 порядка при помощи
выражений (8.2.9), (8.2.10) можно вычислить положение изображения, в котором
кружок рассеяния минимален. При этом продольное смещение изображения составляет
2/3 от продольной аберрации апертурного
луча.
8.2.3. Кома
От греческого: –
хвост, пучок волос.
Кома появляется при смещениях точки предмета с оси. Кома
добавляется к другим аберрациям (например, к сферической), но мы будем
рассматривать ее отдельно от других аберраций (рис.8.2.7).
Рис.8.2.7. Структура пучка лучей при наличии комы.
В первом приближении кома прямо пропорциональна смещению
предмета с оси. Если смещение равно нулю, то и кома равна нулю. Таким
образом, поперечная аберрация
при наличии комы прямо пропорциональна величине предмета:
(8.2.12)
где – коэффициент
пропорциональности, определяющий качество аберрационной коррекции оптической
системы (чем меньше ,
тем лучше оптическая система).
Разложение в ряд волновой
аберрации (параграф 8.2.1) при наличии комы
3 и 5 порядков:
| (8.2.13) |
или
Тогда выражение для поперечных аберраций (после дифференцирования
выражения (8.2.13)) будет выглядеть следующим образом:
(8.2.14)
Описание поперечных аберраций комы различно для меридионального
и сагиттального сечений.
В меридиональном сечении ,
следовательно:
(8.2.15)
В сагиттальном сечении ,
следовательно:
(8.2.16)
На рис.8.2.8 показаны графики поперечных аберраций для
комы 3 порядка в меридиональном и сагиттальном сечениях. Кривые на графиках
имеют одинаковую форму, но в меридиональном сечении значение
в 3 раза больше, чем в сагиттальном.
a) меридиональное сечение | б) сагиттальное сечение. |
Рис.8.2.9. Поперечные аберрации при коме 3 порядка.
Для того чтобы лучше понять структуру поперечных аберраций
при коме, рассмотрим точечную диаграмму лучей. Разобьем зрачок
на множество равновеликих площадок и рассмотрим лучи, проходящие через
центры этих площадок (рис.8.2.10.а). Получим картину лучей, равномерно
распределенных по зрачку. Точки пересечения этих лучей с плоскостью изображения
образуют точечную диаграмму (рис.8.2.10.б).
Рис.8.2.10. Точечная диаграмма.
Кома и неизопланатизм
В названии “неизопланатизм” присутствуют корни греческих
слов: изо – одинаковый, равный, планета – блуждающее тело.
Изопланатизм (одинаково заблуждающийся)
– в окрестности оси оптической системы нет комы, но есть сферическая
аберрация (изображение разных точек предмета будет одинаково плохое).
Апланатизм – нет ни комы, ни сферической аберрации (изображение
разных точек предмета идеальное). Апланатизм может выполняться только
для какой-то части предмета, например в окрестности оси.
О возможной величине комы можно судить, не смещая точку
с оси, если количественно оценить неизопланатизм. Такая оценка
возможна, если использовать условия апланатизма и изопланатизма.
Закон синусов Аббе (условие апланатизма):
| (8.2.17) |
Если это условие выполняется для всех лучей, то нет ни
комы, ни сферической аберрации.
Если присутствует сферическая аберрация, то вместо условия апланатизма
используется похожее условие – условие изопланатизма:
| (8.2.18) |
Рис.8.2.11 показывает разницу в определении двух условий
– условия синусов Аббе и условия изопланатизма.
Рис.8.2.11. Углы лучей, используемые в условиях апланатизма и изопланатизма.
Если условие изопланатизма выполняется, то комы в ближайшей
окрестности осевой точки не будет. Относительное отступление от изопланатизма
(так называемая мера комы) определяется следующим выражением:
(8.2.19)
Поперечная аберрация комы 3 порядка для точки изображения
с координатой
может быть представлена следующим образом:
(8.2.20)
8.2.4. Астигматизм и кривизна изображения
Астигматизм появляется при значительном смещении точки
предмета с оси и добавляется ко всем остальным аберрациям. Сместим предмет
с оси на значительное расстояние (рис.8.2.12). Астигматизм состоит
в том, что не совпадают точки фокусов
в меридиональной
и сагиттальной
плоскостях, поэтому лучи бесконечно узкого пучка не сходятся в одной точке.
Кривизна заключается в том, что наилучшее изображение получается
на искривленной поверхности, а не на плоскости.
Рис.8.2.12. Астигматизм и кривизна изображения.
Разложение в ряд волновой
аберрации (параграф 8.2.1) при наличии астигматизма
3 и 5 порядков:
| (8.2.21) |
или
Количественно астигматизм и кривизна характеризуются
продольными астигматическими отрезками
и . Меридиональная
кривизна определяется отрезком
– это расстояние от плоскости параксиального изображения до меридионального
фокуса .
Сагиттальная кривизна определяется отрезком
– это расстояние от плоскости параксиального изображения до сагиттального
фокуса .
Средняя кривизна определяется полусуммой астигматических
отрезков и указывает положение наилучшего изображения для данного пучка:
(8.2.22)
Мера астигматизма в продольном измерении определяется
разностью астигматических отрезков:
(8.2.23)
В первом приближении средняя кривизна пропорциональна
квадрату расстояния от оси. Зависимость кривизны и астигматизма по полю
показывают графики продольных
аберраций для внеосевых пучков (рис.8.2.13).
Рис.8.2.13. Астигматизм 3 порядка (продольные и поперечные
аберрации).
Здесь
– относительная предметная координата (на краю поля ,
на оси ):
(8.2.24)
Для астигматизма более высоких порядков (5 и выше) графики
могут выглядеть, как показано на рис.8.2.14:
Рис.8.2.14. Продольные аберрации при астигматизме 5 порядка.
В зависимости от положения плоскости
изображения при астигматизме пятно
рассеяния может принимать форму эллипсов, отрезков или круга (рис.8.2.15).
Горизонтальный отрезок наблюдается, если плоскость изображения совпадает
с меридиональным фокусом, а вертикальный – если с сагиттальным. Посередине
между ними пятно рассеяния имеет форму круга. В остальных положениях –
пятна эллиптической формы.
Рис.8.2.15. Пятна рассеяния астигматического пучка.
8.2.5. Дисторсия
Название происходит от латинского “искажение”.
Если кроме дисторсии других аберраций нет, то точка изображается
в виде точки (гомоцентрический
пучок остается гомоцентрическим), но эта точка смещена от идеальной
(рис.8.2.16).
Рис.8.2.16. Дисторсия.
Разложение в ряд волновой
аберрации (параграф 8.2.1) при наличии дисторсии:
| (8.2.25) |
или
При дисторсии величина изображения отличается от идеального:
(8.2.26)
Абсолютная дисторсия (выражается в тех же единицах,
что и величина изображения):
| (8.2.27) |
где – увеличение
системы для данной точки поля.
Относительная дисторсия:
| (8.2.28) |
Дисторсия характерна тем, что ее величина нелинейно зависит
от величины предмета, то есть
увеличение различно для разных точек поля. Абсолютная дисторсия 3
порядка определяется дифференцированием выражения (8.2.25)
и умножением на квадрат предметной
координаты :
(8.2.29)
График относительной дисторсии 3 порядка приведен на
рис.8.2.17. Для сравнения показан примерный ход кривой дисторсии высшего
порядка.
Рис.8.2.17. Дисторсия 3 и высшего порядков.
Наличие дисторсии приводит к искажению прямых линий,
не проходящих через ось (рис.8.2.18). Если квадратный предмет изображается
в виде подушки – это положительная дисторсия. Если изображение квадрата
имеет выпуклые стороны (в виде бочки), то это отрицательная дисторсия.
Рис.8.2.18. Дисторсия.
Допустимая относительная дисторсия (то есть дисторсия,
которая при восприятии глазом не вызывает ощущения, что изображение искажено)
около .
Исправление дисторсии важно в измерительных приборах (в частности, в фотограмметрических
системах), так как наличие дисторсии приводит к нелинейной ошибке измерений.
Например, в фотолитографии допуск на абсолютную дисторсию не превышает
20 нм.
Исследованию аберраций оптической системы посвящены
лабораторные работы «Исследование аберраций
осевой точки» и «Исследование аберраций
внеосевой точки».
Источник
Макеты страниц
Рассмотрим изображение точки, расположенной вне оси, пучками лучей, проходящих в двух взаимно перпендикулярных сечениях — меридиональном и сагиттальном (рис. 120). При этом будем считать, что оба пучка, выходящие из внеосевой точки В, бесконечно близки к главному лучу, т. е. опираются на
Рис. 120. Структура астигматического пучка
отверстие малого диаметра в плоскости входного зрачка. Так как кривизны сферических поверхностей для этих взаимно перпендикулярных пучков оказываются неодинаковыми, то точки схода меридионального и сагиттального пучков по выходе из оптической системы получаются в разных местах. Расстояние по оптической оси от плоскости идеального изображения (точка ) до точек схода меридионального и сагиттального пучков соответственно обозначают Эти расстояния рассчитывают по формулам (241).
Аберрация для точки вне оси, когда ее, изображения, образуемые меридиональными и сагиттальными пучками, лежат в разных местах, называется астигматизмом. Эту аберрацию характеризуют разностью отрезков и называют астигматической разностью.
Из рис. 120 следует, что при наличии астигматизма в месте схода меридионального пучка получается горизонтальный отрезок, в месте схода сагиттального пучка — вертикальный отрезок. В плоскости Гаусса изображение точки в данном случае представляет собой эллипс, большая ось которого вертикальна. Если плоскость изображения перемещать от точки к точке то при разных ее положениях изображение точки будет представлять собой горизонтальную линию, эллипс, большая ось которого горизонтальна, — кружок правильной формы, эллипс, большая ось которого вертикальна, — вертикальную линию. Пучки лучей, дающие такого вида изображение, называются астигматическими.
Для случая протяженного объекта, например, участка плоскости, нужно рассматривать совокупность точек этого объекта, каждая из которых изображается астигматическими пучками лучей. Если объектом является отрезок прямой А В длиной у, расположенный в меридиональной плоскости (рис. 121), то каждой точке этого отрезка будут соответствовать меридиональное и сагиттальное изображения. Соединяя полученцые точки, получим кривые являющиеся соответственно меридиональным и сагиттальным изображением предмета у. Если кривые вращать вокруг оптической оси, то получим
Рис. 121. Изображения отрезков, образуемых астигматическими пучками
астигматические поверхности вращения, касательные к плоскости Гаусса в точке А на оси.
Между кривыми изображений проходит средняя кривая изображения у. На поверхности изображения, которая получается при вращении вокруг оптической оси кривой у, каждая точка предмета у изображается в виде кружка правильной формы.
Таким образом, наличие в оптической системе аберраций астигматизма и кривизны поверхности изображения при условии, что изображение проецируется на плоскость, приводит к нерезкому изображению точек. Эта нерезкость увеличивается по мере удаления точки от оптической оси. Отметим характерные особенности изображения, создаваемого системой, имеющей астигматизм, для случая, когда объектом является двумерная фигура (рис. 122, а). Элементарные меридиональные пучки, изображающие каждую точку в виде линий (рис. 122, б), перпендикулярных к различно ориентированным меридиональным плоскостям, дадут резкое изображение окружности, так как элементарные отрезки меридиональных изображений, налагаясь друг на друга, не нарушат резкости изображения; изображения точек, принадлежащих радиусам, будут получаться в виде элементарных линий, перпендикулярных к радиусам, причем длина этих линий будет возрастать по мере удаления от оптической оси. Элементарные сагиттальные пучки будут изображать каждую точку объекта в виде линий, перпендикулярных к различно ориентированным
Рис. 122. Изображение плоской фигуры астигматическими пучками
Рис. 123. Графическое представление астигматизма и кривизны поверхности изображений
сагиттальным плоскостям, т. е. не исказят изображений радиусов, а изображения окружностей будут представлять собой элементарные радиальные отрезки, длина которых увеличивается по мере их удаления от оптической оси (рис. 122, б).
Астигматизм и кривизну поверхности изображения оптической системы обычно характеризуют величинами которые сводятся в таблицы и иллюстрируются графиками. По оси ординат откладывают углы для главных лучей, выходящих из различных точек предмета, или линейный размер предмета у, а по оси абсцисс — отрезки
Различные случаи коррекции астигматизма и кривизны поверхности изображения иллюстрирует рис. 123. При наличии в системе астигматизма и кривизны поверхности изображения (под последней понимается средняя кривая расположенная между кривыми даже при отсутствии астигматизма изображение по полю плоской поверхности получается нерезким (рис. 123, а). На рис. 123, б показан случай исправления кривизны поверхности изображения при неисправленном астигматизме.
Для получения резкого изображения в пределах всего поля необходимо исправить и астигматизм и кривизну поверхности изображения. В таких системах, называемых анастигматами, астигматизм и кривизна поверхности изображения, практически полностью исправляются для некоторого угла поля и имеют допустимые значения в пределах всего поля оптической системы. График остаточных аберраций астигматизма и кривизны поверхности изображений объектива-анастигмата «Индустар», у которого обе аберрации практически полностью исправлены для угла поля до и сравнительно невелики на самом краю поля, показан на рис. 123, в.
Приближенные значения аберраций астигматизма и кривизны поверхности изображения можно вычислить по формулам
аберраций третьего порядка. Эти аберрации определяются через суммы Зейделя
Рис. 124. Схема для вывода формул астигматизма и кривизны поверхности изображений
Рассмотрим соотношения для плоского меридионального пучка, выходящего из внеосевой предметной точки В, расположенной в бесконечности (рис. 124). Меридиональная составляющая поперечной аберрации третьего порядка для бесконечно удаленного предмета при условиях нормировки (258) и неравенстве нулю и определяется согласно (259):
если предмет и изображение в воздухе, т. е.
Из рассмотрения подобных треугольников в пространстве изображений согласно рис. 124 имеем:
Учитывая, что и подставляя в последнюю формулу из (275), получаем
Аналогичные рассуждения позволяют, пользуясь выражением для сагиттальной составляющей поперечной аберрации третьего порядка, получить из (259)
Тогда астигматическая разность
Таким образом, астигматизм пропорционален квадрату углового поля оптической системы. Для его исправления в области аберраций третьего порядка необходимо выполнить условие В этом случае обе астигматические поверхности сливаются и согласно (276) и (277)
т. е. коэффициент определяет аберрацию кривизны поверхности изображений при исправленном астигматизме.
Источник
